执行刑事拘留的机关是公安机关，公安机关办案人员填写《呈请拘留报告书》经公安机关负责人审查批准之后才能对犯罪嫌疑人进行拘留。执行刑事拘留的时间从拘留执行的当天开始计算。
一、执行刑事拘留的机关
根据法律规定，刑事拘留由公安机关执行。公安机关办案人员认为需要拘留犯罪嫌疑人时，应填写《呈请拘留报告书》，注明有关犯罪嫌疑人的情况和拘留的意见，呈报公安机关负责人审查批准，签发拘留证;检察机关拘留犯罪嫌疑人，由办案人员提出意见，部门负责人审核，检察长决定，再送达公安机关执行。友情提示，公安机关执行拘留的，应持县级以上公安机关签发的《拘留证》，向被拘留人出示《拘留证》，并宣布对其实行拘留。
二、执行刑事拘留的时间从何时计算
刑事拘留时间应自执行拘留之日起计算,将犯罪嫌疑人带回公安机关的时间已经很制了其人身自由,应计算在拘留期限内。
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百零五条规定：期间以时、日、月计算。期间开始的时和日不算在期间以内。法定期间不包括路途上的时间。上诉状或者其他文件在期满前已经交邮的，不算过期。
期间的最后一日为节假日的，以节假日后的第一日为期满日期，但犯罪嫌疑人、被告人或者罪犯在押期间，应当至期满之日为止，不得因节假日而延长。
三、执行拘留的法律规定
执行拘留法律规定：《中华人民共和国民事诉讼法》第一百零二条诉讼参与人或者其他人有下列行为之一的，人民法院可以根据情节轻重予以罚款、拘留;构成犯罪的，依法追究刑事责任：
（一）伪造、毁灭重要证据，妨碍人民法院审理案件的;
（二）以暴力、威胁、贿买方法阻止证人作证或者指使、贿买、胁迫他人作伪证的;
（三）隐藏、转移、变卖、毁损已被查封、扣押的财产，或者已被清点并责令其保管的财产，转移已被冻结的财产的;（四）对司法工作人员、诉讼参加人、证人、翻译人员、鉴定人、勘验人、协助执行的人，进行侮辱、诽谤、诬陷、殴打或者打击报复的;
（五）以暴力、威胁或者其他方法阻碍司法工作人员执行职务的;
（六）拒不履行人民法院已经发生法律效力的判决、裁定的。人民法院对有前款规定的行为之一的单位，可以对其主要负责人或者直接责任人员予以罚款、拘留;构成犯罪的，依法追究刑事责任。